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模拟题（二）
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2010学年上学期期末考试试题课程名称：__ 计算方法 考试形式： 开 卷 学习中心：_________ 考试时间： 120分钟 姓 名：_____________ 学 号： 一 选 择（每题3分，合计42分）
x* ＝ 1.732050808，取x＝1.7320，则x具有 位有效数字。
A、3 B、4 C、5 D、6
取（三位有效数字），则 。
A、 B、 C、 D、0.5
下面_ _不是数值计算应注意的问题。
A、注意简化计算步骤，减少运算次数 B、要避免相近两数相减
C、要防止大数吃掉小数 D、要尽量消灭误差
对任意初始向量及常向量，迭代过程收敛的充分必要条件是_ _。
A、 B、 C、 D、
用列主元消去法解线性方程组，消元的第k步，选列主元，使得＝ 。
A、 B、 C、 D、
设?(x)= 5x3－3x2＋x＋6，取x1=0，x2=0.3，x3=0.6，x4=0.8，在这些点上关于?(x)的插值多项式为，则?(0.9)-=__________。
A、0 B、0.001 C、0.002 D、0.003
用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0转化为x=((x),则f(x)=0的根是： 。
A、y=x与y=((x)的交点 B、 y=x与y=((x)交点的横坐标
C、y=x与x轴的交点的横坐标 D、 y=((x)与x轴交点的横坐标
已知x0＝2，f(x0)=46，x1＝4，f(x1)=88，则一阶差商f [x0, x1]为 。
A、7 B、20 C、21 D、42
已知等距节点的插值型求积公式，那么_____。
A、0 B、2 C、3 D、9
用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求____。
A、 B、 C、 D、
如果对不超过m次的多项式，求积公式精确成立，则该求积公式具有 次代数精度。
A、至少m B、 m C、不足m D、多于m
计算积分，用梯形公式计算求得的值为 。
A、0.75 B、1 C、1.5 D、2.5
割线法是通过曲线上的点的直线与 交点的横坐标作为方程的近似根。
A、y轴 B、x轴 C、 D、
由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是____。
A、 2次 B、3次 C、4次 D、5次计 算（共58分）
将方程写成以下两种不同的等价形式：
①；②
试在区间[1.40,1.55]上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。（8分）设方程f(x)=0在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。（8分）用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分的近似值，要求总共选取9个节点。（10分）用列主元高斯消去法解下列方程组：
（8分）
给定线性方程组
写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。（8分）已知函数y=f(x)的观察数据为
xk
－2
0
4
5
yk
5
1
－3
1
试构造三次拉格朗日插值多项式Pn (x)（8分）
在区间[0, 0.8]上，取h = 0.1，用改进欧拉法求解初值问题。要求计算过程至少保留小数点后4位数字。（8分）答 案
选 择
x* ＝ 1.732050808，取x＝1.7320，则x具有 B 位有效数字。
A、3 B、4 C、5 D、6
取（三位有效数字），则 B 。
A、 B、 C、 D、0.5
下面_ D _不是数值计算应注意的问题。
A、注意简化计算步骤，减少运算次数 B、要避免相近两数相减
C、要防止大数吃掉小数 D、要尽量消灭误差
对任意初始向量及常向量，迭代过程收敛的充分必要条件是_C_。
A、 B、 C、 D、
用列主元消去法解线性方程组，消元的第k步，选列主元，使得＝ B 。
A、 B、 C、 D、
设?(x)= 5x3－3x2＋x＋6，取x1=0，x2=0.3，x3=0.6，x4=0.8，在这些点上关于?(x)的插值多项式为，则?(0.9)-=_____A_____。
A、0 B、0.001 C、0.002 D、0.003
用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0转化为x=((x),则f(x)=0的根是： B 。
A、y=x与y=((x)的交点 B、 y=x与y=((x)交点的横坐标
C、y=x与x轴的交点的横坐标 D、 y=((x)与x轴交点的横坐标
已知x0＝2，f(x0)=46，x1＝4，f(x1)=88，则一阶差商f [x0, x1]为 C 。
A、7 B、20 C、21 D、42
已知等距节点的插值型求积公式，那么__C___。
A、0 B、2 C、3 D、9
用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求__C__。
A、 B、 C、 D、
如果对不超过m次的多项式，求积公式精确成立，则该求积公式具有 A 次代数精度。
A、至少m B、 m C、不足m D、多于m
计算积分，用梯形公式计算求得的值为 A 。
A、0.75 B、1 C、1.5 D、2.5
割线法是通过曲线上的点的直线与 B 交点的横坐标作为方程的近似根。
A、y轴 B、x轴 C、 D、
由4个互异的数据点所构造的插值多项式的次数至多是_B___。
A、 2次 B、3次 C、4次 D、5次计 算
将方程写成以下两种不同的等价形式：
①；②
试在区间[1.40,1.55]上判断以上两种格式迭代函数的收敛性。（8分）
解： ①令，则，；
又，故由定理2.1知，对任意，迭代格式收敛；
②令，则，，故由定理2.2知，对任意，且，迭代格式发散。设方程f(x)=0在区间[0，1]上有惟一实根，如果用二分法求该方程的近似根，试分析至少需要二分几次才能使绝对误差限为0.001。（8分）
解：设方程的精确解为x*，任取近似根x(有根区间)([0,1]，
则
所以至少要二分9次，才能保证近似根的绝对误差限是0.001．用复化梯形公式、复化辛卜生公式分别计算积分的近似值，要求总共选取9个节点。（10分）解：要选取9个节点应用复化梯形公式，则需将积分区间[0, 1]作8等分，即
, ，（）
设，则积分的复化梯形公式为：
若选取9个节点应用复化辛卜生公式，则
，，（）
积分的复化辛卜生公式为：
将所用到的与相应的，以及的梯形加权系数、的辛卜生加权系数全部列于下表，得：
xi
f(xi)
Ti
Si
0
4
1
1
0.125
3.938462
2
4
0.250
3.764706
2
2
0.375
3.506849
2
4
0.500
3.2
2
2
0.625
2.876404
2
4
0.750
2.56
2
2
0.875
2.265487
2
4
1
2
1
1
那么由复化梯形公式求得
由复化辛卜生公式求得
用列主元高斯消去法解下列方程组：
（8分）
解：
再用“回代过程”可计算解：
给定线性方程组
写出雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式。（8分）
解：写出用雅可比迭代法解该方程组的迭代公式为
用高斯-赛德尔迭代法解该方程组的迭代公式。
已知函数y=f(x)的观察数据为
xk
－2
0
4
5
yk
5
1
－3
1
试构造三次拉格朗日插值多项式Pn (x)（8分）
解：先构造基函数
所求三次多项式为 P3(x)=
＝＋－＋
在区间[0, 0.8]上，取h = 0.1，用改进欧拉法求解初值问题。要求计算过程至少保留小数点后4位数字。（8分）
解：用改进欧拉法计算公式如下：
计算结果如下表：xn
改进欧拉法yn
0
1
0.1
1.095909
0.2
1.184097
0.3
1.266201
0.4
1.343360
0.5
1.416402
0.6
1.485956
0.7
1.552514
0.8
1.616475
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