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《近世代数》作业
本课程作业由两部分组成。第一部分为“客观题部分”，由10个选择题组成，每题1分，共10分。第二部分为“主观题部分”，由解答题和证明题组成，共20分。作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。
客观题部分：
一、选择题（每题1分，共15题）
1、整数环中，乘法可逆元的个数是 （ ）。
A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个
2、三次对称群，则中与元不能交换的元的个数是 （ ）。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
一个有限非可交换群至少含有（ ）个元素。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 6个
设是阶群（是素数），则中元素可作其生成元的有（ ）。
A. 1个 B. 个 C. 个 D. 个
5、下列叙述中哪一项不正确（ ）。
A．循环群的子群一定是循环群。
B．阶是素数的群一定是循环群。
C．循环群一定是交换群。
D. 循环群中每个元都是生成元。
6、剩余类加群的子群有（ ）。
A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个
7、n次对称群的阶是（ ）。
A. n B. ！ C. D.
8、下列环中哪一个是有零因子的环 （ ）。
A. B. C. D.
9、除环的真理想共有（ ）。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 不确定
10、设，是群的元素，的阶为2，的阶为3，且。则的阶为（ ）。
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
主观题部分：
一、解答题（每题4分，共2题）
1、设是8阶循环群，找出的所有子群。
2、写出子群在对称群中的所有左陪集和右陪集。
二、证明题（每题4分，共3题）
1、验证集合A＝关于普通加法和乘法是一个整环。
2、设是整数环，证明，。
3、设是群的子群，是的不变子群（也称正规子群）。证明是的子群。
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