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斐波那契数列在三对角行列式计算中的应用
◎刘 玲 方春霞 胡佳宁 缪梦楠
(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江 金华 321004)
【摘要】本文主要研究如何利用(广义)斐波那契数列的通项公式来计算三对角行列式.
【关键词】斐波那契数列；三对角行列式；计算
一、引 言
斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来.如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子?
分析 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔，总数是两对；三个月以后老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对.由此下去，数字1，1，2，3，5，8——构成了一个序列.这个数列有十分明显的特点：前面相邻两项之和构成了后一项，即fn=fn-1+fn-2，这个数列就是著名的斐波那契(fibonacci)数列.
斐波那契数列在各领域应用广泛，特别地，它在行列式计算中有其独特的魅力，如，某些三对角行列式的递推关系满足斐波那契数列的通项公式fn=fn-1+fn-2及其推广形式，因此，我们利用斐波那契数列的通项公式来计算满足这个条件的行列式，以达到简化行列式运算的目的.
二、(广义)斐波那契数列的定义与性质
(一)斐波那契数列的定义与性质
设数列{fn}满足递推关系：fn=fn-1+fn-2，n=2，3，…，
(1.1)
以及初始条件：f0=1，f1=1.
(1.2)
则称此数列为斐波那契数列.
引理1[1] 斐波那契数列的第n项fn等于
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(二)广义斐波那契数列的定义与性质
若数列{fn}满足递推关系：fn=afn-1+bfn-2，n=2，3，…，(a，b为非零常数)
(1.3)
以及初始条件：f0=p，f1=q，(p，q为任意数)
(1.4)
则称此数列为广义的斐波那契数列.
引理2 令width=193,height=31,dpi=110当a2+4b≠0时，有广义斐波那契数列的第n项fn等于width=217,height=31,dpi=110
三、斐波那契数列在行列式计算中的应用
在三对角行列式的计算中，利用降阶展开定理得到行列式的递推关系式，这个递推关系式经常满足(广义)斐波那契数列的条件，所以利用斐波那契数列的通项公式来计算三对角行列式也是一种计算方法.
(一)斐波那契数列在三对角行列式中的应用
例1 设Fn是主对角线元素皆为1，上、下对角线元素皆为i的n阶三对角矩阵，即
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计算行列式|Fn|.
解 计算可得|F1|=1，|F2|=2，|F3|=3，由行列式降阶展开定理可得递推关系|Fn|=|Fn-1|+|Fn-2|，由引理2可得width=125,height=30,dpi=110从而有
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例2 计算
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其中α，β是复数且α≠β.
解 降阶展开可得Dn=(α+β)Dn-1-αβDn-2，其中D1=α+β，D2=α2+αβ+β2，则Dn是广义斐波那契数列，由引理2整理可得width=80,height=33,dpi=110
(二)斐波那契数列在变形的三条形行列式中的应用
例3 设width=178,height=98,dpi=110
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计算行列式|An|，|Bn|.
解 计算可得
|A1|=1，|A2|=3，
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|B1|=2，|B2|=5，
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并且将|An|(|Bn|)第一行展开就可以得到
|An|=|Bn-1|+|An-1|，
|Bn|=2|Bn-1|+|An-1|=|Bn-1|+(|Bn-1|+|An-1|)=|Bn-1|+|An|.
于是，行列式序列
|A1|，|B1|，|A2|，|B2|，|A3|，|B3|，|A4|，|B4|，…(数列1，2，3，5，8，13，21，34，…)构成斐波那契序列.由引理2可计算出|An|与|Bn|.
【参考文献】
[1]吴振奎.斐波那契数列[M].沈阳：辽宁教育出版社，1987.
[2]奚传志.矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用[J].枣庄师专学报，1991(2)：26-30.
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